Medición de una columna

Matemáticas

Uso de la semejanza y la Trigonometría para calcular alturas

El problema

Presentación y discusión de resultados

Organización

¿Cómo vamos a evaluar?

Trigonometría

Semejanza

Basado en una idea del prof. Fidel Pastor

Problema Cálculo de la altura de una columna

@Xiriximo

Se trata de calcular la altura de una de las columnas situadas dentro de un pequeño estanque artificial justo en el centro del parque más importante de la población.

Las columnas cuya altura hay que medir se encuentran dentro del agua, por lo que la base no es accesible. Imagen CC de wikimedia.org

Presentación Los alumnos, por equipos, presentarán su resolución del problema a los compañeros. Para ello pueden utilizar cualquier técnica y cualquier medio audiovisual (siempre que se pueda reproducir después en el aula): presentaciones clásicas, presentaciones dinámicas con genial.ly, videos, murales, etc. Se valorará la discusión de las soluciones y los diferentes métodos de obtención de la solución. Se propiciará también la comparación de resultados entre grupos.

Organización. Los alumnos se agruparán en equipos de 3 miembros y conocerán la actividad con antelación. Se realizará un trabajo de campo en que los alumnos, equipados con instrumentos de medida, visitarán el parque. Allí tomarán las medidas que consideren necesarias para resolver el problema. Es importante el hecho de que conozcan el problema con anterioridad a esta visita para que traten de buscar las diferentes posibilidades para resolver el problema. Recursos Cada grupo de alumnos deberá proveerse, al menos, de una cinta métrica y un libro de espejos. Es recomendable también disponer de una barra de longitud conocida (no es imprescindible si conseguimos en el parque algún objeto que nos pueda servir para la misma finalidad). El profesor les facilitará un clinómetro para medir ángulos de inclinación. Imagen CC del usuario arturomandly en flickr

Aquí hay un breve video de una experiencia similar utilizando el libro de espejos con alumnos de 2ºESO:

Semejanza 2. (Método de Euclides) Este método solo es aplicable si conocemos la distancia a la base de la columna. En este problema la base no es accesible pero al disponerse todas las columnas del interior del estanque de forma regular quizás podría calcularse o estimarse. Los alumnos llevarán un libro de espejos que les facilitará el profesor. De esta forma pueden conseguir, de nuevo, dos triángulos semejantes con los que obtener la altura deseada. Con el libro de espejos abierto en el suelo, uno de ellos debe situarse al frente de la columna y dirigir la vista al libro de espejos de forma que haga coincidir el reflejo del punto superior de la columna con la división de los espejos (la parte central). De esta forma, conociendo la distancia de la columna al libro de espejos, del alumno al libro de espejos y la altura (hasta los ojos) de este alumno, por semejanza, como en el caso anterior, es sencillo calcular la altura que necesitamos. Imagen: lasonoadepitagoras

Semejanza 1. El triángulo rectángulo que forma la columna de pie inaccesible con su sombra es, en el mismo instante, semejante al triángulo rectángulo que forma una vara de longitud conocida con su sombra (los ángulos de incidencia de los rayos del sol son iguales en ambos casos si se realizan las mediciones en el mismo momento). Con este método no es necesario utilizar herramientas de Trigonometría, simplemente la semejanza de triángulos. Aplicando el teorema de Thales la razón entre los lados de ambos triángulos son proporcionales y la única medida que no conocemos (porque no la podemos medir) es la altura de la columna. De esta forma es sencillo obtener esa altura. Imagen: Francisco Abellán

Trigonometría Utilizando herramientas básicas de Trigonometría se puede resolver mediante el denominado "método de la doble tangente" que consiste, básicamente, en medir el ángulo que forma con la visual el punto más alto desde un punto alejado a la base de la columna, retroceder una distancia conocida y volver a medir de nuevo ese ángulo (que será menor que el anterior). A partir de la definición de la tangente de ambos ángulos se puede obtener de forma sencilla la altura de la columna. Imagen: Antonio Omatos

Temporalización El trabajo requerirá de un periodo de reflexión, en equipo, previo al trabajo de campo. Una vez conocido el enunciado del problema cada grupo deberá realizar una lluvia de ideas y la exploración de cada una de ellas para tratar de acordar cuáles de ellas llevarán a la práctica. Posteriormente tendrá lugar ese trabajo de campo en el que se realizarán las mediciones. A continuación deben procesar los datos y realizar los cálculos que estimen convenientes, así como preparar la exposición de su resolución del problema al resto del grupo-clase. Evaluación Se propone la siguiente rúbrica de evaluación para la resolución del problema: